חוק בנפורד; למה המיליון הראשון הוא הכי קשה

בשנת 1881 גילה האסטרונום ניוקומב תופעה מעניינת – ספרי החישובים בהם הוא היה משתמש לחישובים היו שחוקים יותר במספרים שמתחילים בספרה 1 כספרה מובילה (כלומר – 10, 100, 1,000 וכו’). לאחר שבחן את התופעה מצא ניוקומב ש–1 מופיעה כספרה ראשונה במעל-30% מהמספרים בהם נתקל במסגרת עבודתו. גם הספרות הבאות הופיעו יותר מהצפוי – ספרה 2 הייתה הספרה הראשונה ב-17.6% מהמקרים, הספרה 3 ב-12.5% וכן הלאה, הולך ופוחת עד לספרה 9 שמופיעה כספרה ראשונה רק ב-4.6% מהמקרים. כלומר – הסיכוי שהספרה הראשונה היא 1-3 הוא מעל 60%. נכנה את ספרות אלה “הספרות הכבדות”.

תופעה זו התגלתה שוב על ידי פרנק בנפורד ב-1938. בנפורד אמנם אינו הראשון שגילה את התופעה אך הוא היה בחור נלהב שאסף נתונים מעשרות מקורות כדי לבחון אם התופעה מתקיימת גם בהם – גדלים של נהרות, מספרי תושבים, קבועים פיזיקליים, משקלים מולקולריים ועוד ועוד. בכמעט כל המקרים בנפורד מצא שהתופעה מתקיימת. זה אפילו לא משנה באילו יחידות אנו מודדים – מטר, רגל, אינצ’.

עם זאת, כלל בנפורד אינו מתקיים תמיד. כלל אצבע כדי לדעת האם כלל בנפורד צפוי להתקיים באוכלוסיה מסוימת בוחן האם מדובר באוכלוסיה “שמתפרשים על כמה סדרי גודל” – כלומר, אם יש באוכלוסיה פריטים שהם יותר מפי עשרה, מאה או אלף מאחרים – כלל בנפורד כנראה יתקיים. כך, קיימות אוכלוסיות בערים שהן יותר מפי 100 מערים אחרות- ולכן כלל בנפורד יתקיים. לעומת זאת, אין אנשים שגבוהים פי 100 מאנשים אחרים – ולכן באם נמדוד גובה במטרים כמעט כל האוכלוסיה תתחיל ב-1 ואם נמדוד לפי יחידת מידה רגל – נגלה שהגובה כמעט תמיד יתחיל ב-5 או 6.

למה זה קורה?

חוק בנפורד הוא תופעה שהתגלתה אמפירית. עם הזמן ניסו חוקרים למצוא תירוצים לתופעה ועד היום ישנם מספר הסברים מתמטיים והסתברותיים שונים. אני אשתמש בהסבר הכי אינטואיטיבי עבורי:

נניח שנתתי לכם שקל, ובאמצעות אלגו-טריידינג אתם מניבים בכל שניה תשואה של 10% על הכסף . אחרי שניה יהיה לכם 1.1 ש”ח, אח”כ 1.21, 1.33, 1.46, 1.61, 1.77, 1.94. כבר שש שניות עברו ועוד לא יצאנו מהספרה 1! גם 2 ו-3 הן כבדות – 2.14, 2.35, 2.59, 2.85, 3.13, 3.45, 3.79 .
כלומר – בילינו 13 שניות ב-3 הספרות הראשונות.

אבל ראו מה קורה ב-10 השניות הבאות: 4.17, 4.59, 5.05, 5.55, 6.11, 6.72, 7.4, 8.14, 8.95, 9.84. אחרי שלקח לנו 13 שניות לעבור 3 ספרות – לקח לנו רק 10 שניות לעבור עוד 6 ספרות. למרות שאנחנו כבר מרגישים עשירים – כשנגיע ל-10 שקלים שוב ניתקע בספרות -1-3 עד 39, נטוס מאוד מהר לכיוון 99, ניתקע שוב וחוזר חלילה.

אולי זה בגלל שבחרנו רק ב-10%? נשנה קצת את המספרים נניח שכל שניה אתם מכפילים את הכסף – 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… ואם נסתכל רק על הספרות הראשונות נקבל ש- 29 מתוך 95 מספרים יתחילו באחד:

[1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 2, 5, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6, 1, 2, 4, 9, 1, 3, 7, 1, 3, 6, 1, 2, 4, 9, 1, 3]

אולי השימוש באחוזים גורם לכך? ניקח דוגמה נוספת בה אנו בונים מגדל על ידי הוספת לבנים בגובה מטר אחת על גבי השניה עד שגורם חיצוני מגיע ודוגם את גובה המגדל. לא משנה מתי תהיה הדגימה- הסיכוי שהספרה הראשונה שלהגודל יהיו 1-3 יהיו כ-60%.

[למתעמקים – הסיכוי למספר ראשון 1-3 ינוע כל הזמן בין סביבות 33% (אם נחליט שאנחנו עוצרים לא יאוחר מהמספר 99) ל- 85% ( עד המספר 39) – כך שהממוצע יהיה סביבות 60%. ]

בנפורד בחיי היום-יום

חוק בנפורד משמש גופים כגון רשויות המס לצורך גילוי תרמיות. כאמור – הכנסות, רווח נקי, הון עצמי ועוד אמורים לציית לחוק בנפורד, ואם מדובר במספרים מומצאים – למשל עבריין מס שמשתמש ביוצר מספרים רנדומליים כדי למלא את דוחות המס שלו – רשות המסים תשים לב כי התפלגות המספרים אחידה מדיי בין הספרות 1-9.

עבורי, השימוש העיקרי בחוק בנפורד הוא ככלל אצבע בכל מה שקשור בכסף – שכן כמעט כל מה שנמדד בכסף מציית לחוק בנפורד.בעולם ההשקעות מחירי מניות, מחזורים בבורסה ותוצאות עסקיות כגון רווח תפעולי- כולם מצייתים לחוק בנפורד. ניקח למשל את תיק האשראי ללקוחות של חברת האשראי החוץ בנקאי אס.אר אקורד:

משנת 2014 ועד שנת 2018 תיק האשראי של אס.אר נמצא “בספרות הכבדות”– 100 עד 399 מיליון, אבל זה עלול להיות מטעה, שכן מאז הרבעון הרביעי של שנת 2018 ועד עכשיו “דילגה” אס.אר מעל כמה ספרות נוספות והגיעה תוך שנה אחת בלבד לתיק אשראי של 650 מיליון. עבור מי שרגיל לחשוב ליניארית זה נראה לא צפוי, אך אם חושבים בסגנון בנפורד – זה נראה מתבקש. כך אני חושב גם על חברות שעוד לא עשו את הקפיצה הזו – כמו שוהם – ש”תקועה” כבר שלוש שנים בספרות הכבדות, ואני מצפה שתקפוץ מעל הספרות הבאות באלגנטיות בשנים הקרובות. הקפיצה זו תוצאה שאפשר להבין גם עם קצת חישובים ואקסל, אבל חוק בנפורד מאפשר להבין זאת כמעט מייד ועם הזמן תמצאו את עצמכם מבינים זאת אינטואיטיבית.

בענייני כסף בחיי היום-יום – בין אם מדובר מדובר בצעיר שסיים עכשיו תואר ומודד את ההון שלו באלפים או עשרות אלפים, זוג צעיר עם הון עצמי של מאות אלפים, או זוג מבוסס שההון העצמי שלו נמדד במיליונים – ההון העצמי של כולם כנראה תקוע בספרות הכבדות. מהצד השלילי (חוב) – כלל בנפורד רלוונטי במינוס בדיוק כמו שהוא רלוונטי בפלוס.

לסיכום, אין ספק שהמיליון הראשון הוא הקשה ביותר ולהגיע ממיליון ל-2 מיליון קשה לא פחות מלהגיע מ-2 מיליון ל-4 מיליון, אך תתנחמו בכך שאם אכן עמלתם והגעתם ל-4 מיליון הדרך ל-10 מיליון לא רחוקה כפי שנדמה.

הכותב מחזיק במניות אס.אר אקורד , ובמניות ואופציות שוהם ביזנס. נא לקרוא את הפטור מאחריות.