מי שעוקב אחרי הבלוג יודע שההחזקות שלי מאוד מרוכזות יחסית למשקיעים אחרים. כ-25% מההון שלי מושקע בחברה אחת, ויותר מ-60% ב-4 חברות. עולה השאלה – האם ריכוז כזה הוא הגיוני? כמה אחוזים מהתיק נכון לשים בהשקעה?
אני עושה שימוש נוסחה שמכונה “קריטריון קלי” (Kelly Criterion) שעונה בדיוק על השאלה הזו, ושאני ומשקיעים אחרים עושים בה שימוש. בפוסט זה אציג את הנוסחה ואת המסקנות המפתיעות שהיא מובילה אליהן.
איך למקסם הון כשהסיכויים (קצת) מוטים לטובתך
בשנת 1956 חוקר בשם ג’ון קלי כתב במאמר שהוציא בתחום התקשורת על אסטרטגיה מתמטית אשר ממקסמת את ה”עושר” הנצבר לאחר התוצאה של סדרה של הימורים. לפני שנדון בנוסחה עצמה, נבחן איך אנשים מתנהגים בעולם האמיתי.
נניח שיש לך הזדמנות לשחק במשחק הבא: מציגים לך מטבע שנוחת על עץ 60% מהפעמים, נותנים לך 25$, מטילים את המטבע שוב ושוב כל שלושים שניות ואתה רשאי להמר על התוצאה בסכום כסף שתבחר. זמן המשחק מוגבל ל-30 דקות – סביבות 300 הטלות. הפרס המקסימלי הוגבל ל-250$. מה האסטרטגיה שתבחר בה?
אקדים ואומר שבחירה באסטרטגיה טובה (אף אם לא אידיאלית) יכולה להוביל לפרס המקסימלי כמעט בוודאות מוחלטת. עם זאת תיאוריה לחוד והתנהגות בעולם האמיתי לחוד.
ניסוי שנערך בשנת 2016 הציג ל-61 נסיינים בדיוק את ההצעה המתוארת לעיל. התוצאות הראו שהנסיינים לא היו מאוד טובים בתכנו אסטרטגיה יעילה. כמה תוצאות בולטות מהניסוי:
- 28% מהנסיינים “פשטו רגל” ואיבדו את מלוא הסכום.
- 30% מהנסיינים הימרו את כל הכסף על הטלה אחת.
- 66% מהמשתתפים הימרו על פלי (התוצאה עם סיכוי של 40%) בשלב כלשהו בניסוי.
- השחקן הממוצע יצא עם 91$, רק 21% מהמשתתפים השיגו את הפרס המקסימלי/
כפי שניתן לראות – ה”אינטואיציה” האנושית לגבי כמה כסף לשים בהימור לא מאוד טובה. הניסוי הראה שגם אם אתה מציג למגוון של אנשים את אותה השקעה בעצם, הם עדיין מצליחים להגיע לתוצאות שונות לחלוטין, החל מהכפלה פי 10 של ההשקעה ועד ל”פשיטת רגל” רק על ידי שינוי סכום הכסף שהם בחרו להמר. עד כדי כך חשוב משקל השקעה בתיק השקעות, ועד כדי כך אנחנו גרועים בזה.
הנוסחה של קלי
הנוסחה שקלי פיתח מורכבת משני מרכיבים בלבד: p – הסיכוי לנצח (50%=0.5) ו-b – כמה דולרים נוספים תקבל על כל דולר ששמת במידה ותנצח. למשל, אם הכסף יוכפל אז b יהיה 1 (דולר אחד נוסף). הנוסחה קובעת שמהמר השואף למקסם את עושרו, יהמר אחוז מעושרו השווה לביטוי המתמטי הבא:
אפשר לפשט את השורה העליונה בנוסחה לתוחלת הרווח בהימור ואת השורה התחתונה לרווח הצפוי, ככל ותזכה. נעסוק בפישוט של הנוסחה בחלק הבא. כרגע נשתמש בנוסחה עצמה.
נבחן את הנוסחה בהתאם לדוגמה מהניסוי לעיל: יש 60% להטלה שתנחת על פלי – p=0.6. כמו כן, ככל ואתה מנצח הכסף מוכפל – b=1.
נשים את המספרים בנוסחה של קלי ונקבל 0.2. המשמעות היא שבניסוי שהצגנו האסטרטגיה הטובה ביותר היא לשים 20% מכספנו על עץ בכל הטלה. ככל ואנחנו זוכים אנחנו מתאימים את ה-20% ל”עושרנו” החדש, או מקטינים ככל והפסדנו.
דוגמא נוספת – נניח שהפעם נעסוק בהטלת מטבע הוגנת 50/50 (p=0.5), אך הפעם אם נזכה נקבל 2$, ואם נפסיד נאבד 1$ (b=2). הנוסחה של קלי תורה לנו לשים 25% מכספנו בכל הימור שכזה.
יודגש שהנוסחה רלוונטית רק כאשר הסיכוי לטובתכם – או שתרוויחו יותר משתפסידו ככל ותזכו, או שהסיכוי לטובתכם – אחרת, התוצאה תציג מספר שלילי – כלומר אין טעם להמר, או למעשה שכדאי לקחת את הצד השני של ההימור (להיות הקזינו).
כאשר הסיכויים ידועים מראש שימוש בנוסחה של קלי היא הדרך המיטבית למקסום עושר, אך איך עושים שימוש בנוסחה של קלי בעולם האמיתי?
אסטרטגיית קלי וניהול כספים
כמה מהמשקיעים המוערכים ביותר, כולל וורן באפט, מוניש פאבראי (שכתב על אסטרטגיית קלי בספרו The Dhando Investor), ביל מילר ואד ת’ורפ, עשו וממשיכים לעשות שימוש באסטרטגיית קלי.
כדי לעבור מעולם ההימורים לעולם ההשקעות יש לערוך התאמות מינוריות לנוסחה שהוצגה לעיל. מוניש פאבראי פישט בספרו את הנוסחה של קלי ביחס לשוק המניות ל:
Edge/Odds=משקל המניה בתיק ההשקעות.
Edge – תוחלת הרווח הכללית. Odds – בכמה תזכה, ככל וההשקעה הצליחה.
ניקח דוגמה לשימוש בנוסחה מההחזקה הכי גדולה בתיק שלי – שוהם ביזנס (לפי מחיר מניה של 270 אגורות). נפשט ונחלק את התרחישים האפשריים בהשקעה לשלושה, לפי תרחישי צמיחה שונים:
| תרחיש | הסתברות | רווח בתרחיש |
| שוהם ממשיכה לצמוח בקצב הנוכחי עוד שנה, שווה בממוצע 800 אגורות למניה | 60% | 530 |
| שוהם מפסיקה לצמוח , שווה בממוצע 300 אגורות למניה. | 30% | 30 |
| תוצאות שוהם מידרדרות, שווי המניה יורד לאפס | 10% | 270- |
המספרים שמילאתי הם הערכה שלי למצב כיום בשוהם. בדוגמה זו, תוחלת הרווח היא 300 – זה ה-Edge. לגבי ה-Odds – כאן אנחנו לוקחים את הרווח הכולל במקרה של תוצאה חיובית – 530 פלוס 30 = 560.
ניקח את המשתנים, נכניס לנוסחה משקל בתיק של 300/560 – 53%. כלומר, אם ברצוננו “למקסם את עושרנו” נשים 53% מעושרנו במניה עם מאפיינים אלו.
אז האם שמתי 53% מכספי בשוהם? התשובה היא לא, מכמה סיבות:
- ההמלצה של הנוסחה תלויה לגמרי באינפוטים שאתה מכניס לתוכה, מה שאומר שכל ההטיות הפסיכולוגיות שלך נכנסות לנוסחה.
- הנוסחה מניחה שיש לכם הרבה הזדמנויות השקעה. השימוש בה לא מתאים לאדם שמתכנן לקנות מניה באופן חד פעמי.
- הנוסחה מניחה שיש מולך השקעה אחת בלבד, אך אתה רוצה לחלק את התיק בין 3 השקעות והנוסחה אומרת לך לשים בכל אחת מהן 50%, אתה נאלץ להתפשר.
- המטרה של הנוסחה היא “מקסום עושר” והיא לא מתעניינת בתנודתיות כלל. כלומר – היא יכולה להוביל לתיק מאוד תנודתי (תחשבו על תיק שיכול לרדת או לעלות בעשרות אחוזים אחרי פרסום דוח או ללא כל סיבה) שיקשה עליי לישון בלילה.
בכל זאת, אני מאמין שכאשר מגיעה הזדמנות לעשות תשואה יוצאת דופן בהשקעה, כדאי לנצל אותה. אם מצאת השקעה טובה, כשהסיכויים מוטים לטובתך מאוד, לשים בה רק אחוזים בודדים מההון שלך זו התנהלות לא מיטבית.
אז מה עושים? בספר Hedge fund market wizards, מציע הכותב לשים במניה חצי מהשיעור שמתקבל כתוצאה מהנוסחה כדי להוריד את התנודתיות של התיק תוך שמירה של רוב תוחלת הרווח.
אני אישית לוקח את השיעור שאני מקבל משימוש בנוסחה (תוך השתדלות להיות כמה שיותר ריאליסטי בהסתברויות שאני מכניס לתוכה) ולוקח שיעור שהוא בין 25% ל-50% מהתוצאה שקיבלתי בתלות בכמה אני משוכנע באינפוטים שלי לנוסחה ובהיכרות שלי עם החברה.
עם שוהם בחרתי ללכת על הצד הגבוה “בעיניים פקוחות”. צריך לזכור שאם מציעים לך לשים כסף על הטלת מטבע המוטה לטובתך, לשים כסף זו הבחירה הנכונה גם אם בדיעבד יסתבר שהמטבע נחת על הצד השני. בעולם ההשקעות, כמו בחיים, כל מה שאנחנו יכולים לעשות זה לבחור דרך פעולה או שיטת השקעה הגיונית ועקבית ולדבוק בה, ולתת להסתברות לעשות את שלה.
